Regra de Três Simples

A regra de três simples é uma ferramenta matemática usada para resolver problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

Passos para resolver uma regra de três simples:
1. Identificar as grandezas envolvidas e determinar se são diretamente ou inversamente proporcionais.
2. Montar uma tabela com as grandezas.
3. Usar a proporção para encontrar o valor desconhecido.

Exemplo 1 (Grandezas Diretamente Proporcionais):

Problema: Se 4 canetas custam 8 euros, quanto custarão 10 canetas?

Solução:
1. Montamos a tabela:
- 4 canetas ---- 8 euros
- 10 canetas --- X euros

2. Usamos a proporção:
   4/8 = 10/X

3. Resolvendo a proporção:
   4X = 80 -> X = 80/4 -> X = 20

Portanto, 10 canetas custarão 20 euros.

Exemplo 2 (Grandezas Inversamente Proporcionais):

Problema: Se 5 trabalhadores completam uma obra em 10 dias, quantos dias levarão 8 trabalhadores para completar a mesma obra?

Solução:
1. Montamos a tabela:
- 5 trabalhadores ---- 10 dias
- 8 trabalhadores ---- X dias

2. Usamos a proporção inversa:
   5 . 10 = X . 8

3. Resolvendo a proporção:
  50 = 8. X   ....     X = 50/8      .......    X = 6,25 dias     ........     6 dias e 1/4 dia      .......    6 dias e 6h.

Portanto, 8 trabalhadores levarão 6 dias e 6h para completar a obra.

Exemplo 3 (Grandezas Diretamente Proporcionais):

Problema: Um carro percorre 150 km com 10 litros de combustível. Quantos litros são necessários para percorrer 300 km?

Solução:
1. Montamos a tabela:
- 150 km ---- 10 litros
- 300 km ---- X litros

2. Usamos a proporção:
   150/10 = 300/X

3. Resolvendo a proporção:
   150X = 3000 -> X = 3000/150 -> X = 20

Portanto, serão necessários 20 litros para percorrer 300 km.

Regra de Três Composta

A regra de três composta é utilizada quando há mais de duas grandezas envolvidas. O processo é semelhante à regra de três simples, mas requer a análise de várias proporções simultaneamente.

Passos para resolver uma regra de três composta:
1. Identificar todas as grandezas envolvidas e determinar se são diretamente ou inversamente proporcionais.
2. Montar uma tabela com todas as grandezas.
3. Resolver a proporção composta para encontrar o valor desconhecido.

Exemplo 1:

Problema: Se 5 máquinas produzem 200 peças em 8 horas, quantas peças 8 máquinas produzirão em 6 horas?

Solução:
1. Montamos a tabela:
- 5 máquinas ---- 200 peças ---- 8 horas
- 8 máquinas ---- X peças ---- 6 horas

2. Analisamos as proporções:
- Número de peças é diretamente proporcional ao número de máquinas.
- Número de peças é diretamente proporcional ao número de horas.

3. Usamos a regra de três composta:
   X/200 = 8/5 * 6/8

4. Resolvendo:
   X = 200 * 8/5 * 6/8 = 200 * 6/5 = 240

Portanto, 8 máquinas produzirão 240 peças em 6 horas.

Exemplo 2:

Problema: Se 4 caminhões transportam 240 toneladas em 3 dias, quantos caminhões são necessários para transportar 400 toneladas em 4 dias?

Solução:
1. Montamos a tabela:
- 4 caminhões ---- 240 toneladas ---- 3 dias
- X caminhões ---- 400 toneladas ---- 4 dias

2. Analisamos as proporções:
- Número de caminhões é diretamente proporcional ao número de toneladas.
- Número de caminhões é inversamente proporcional ao número de dias.

3. Usamos a regra de três composta:
   X/4 = 400/240 * 3/4

4. Resolvendo:
   X = 4 * 400/240 * 3/4 = 4 * 400 * 3/960 = 5

Portanto, serão necessários 5 caminhões para transportar 400 toneladas em 4 dias.

Exemplo 3:

Problema: Se 6 professores corrigem 180 provas em 3 dias, quantos professores são necessários para corrigir 300 provas em 2 dias?

Solução:
1. Montamos a tabela:
- 6 professores ---- 180 provas ---- 3 dias
- X professores ---- 300 provas ---- 2 dias

2. Analisamos as proporções:
- Número de professores é diretamente proporcional ao número de provas.
- Número de professores é inversamente proporcional ao número de dias.

3. Usamos a regra de três composta:
   X/6 = 300/180 * 3/2

4. Resolvendo:
   X = 6 * 300/180 * 3/2 = 6 * 2.5 = 15

Portanto, serão necessários 15 professores para corrigir 300 provas em 2 dias.

Questões para Praticar

1. Se 7 trabalhadores constroem um muro em 10 dias, quantos trabalhadores são necessários para construir o mesmo muro em 5 dias?

2. Uma máquina embala 500 pacotes em 4 horas. Quantas horas levará para embalar 1000 pacotes?

3. Se 3 torneiras enchem um tanque em 6 horas, quantas horas levarão 4 torneiras para encher o mesmo tanque?

4. Um carro percorre 240 km com 15 litros de combustível. Quantos litros serão necessários para percorrer 400 km?

5. Se 9 livros custam 54 euros, quanto custarão 15 livros?

6. Um grupo de 5 pessoas consome 20 kg de arroz em 10 dias. Quantos kg de arroz serão consumidos por 8 pessoas no mesmo período?

7. Se 12 operários constroem uma casa em 8 meses, em quantos meses 16 operários construirão a mesma casa?

Gabarito

1. 14 trabalhadores

2. 8 horas

3. 4,5 horas

4. 25 litros

5. 90 euros

6. 32 kg

7. 6 meses

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Referência Bibliográfica

Cury, A. F., Matemática para Todos, São Paulo: Saraiva, 2015.

Dantas, L. A., Resolução de Problemas Matemáticos, Rio de Janeiro: Editora Moderna, 2018.

Gualberto, M. R., Matemática Essencial, Lisboa: Editorial Caminho, 2020.

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