POLINÔMIOS

Polinômios

Conceito:

Um polinômio é uma expressão algébrica formada pela soma ou subtração de termos, onde cada termo é o produto de um número (coeficiente) por uma ou mais variáveis elevadas a expoentes inteiros não negativos.

Exemplos:

• 5x³ - 2x² + 7x - 1
• 3y² + 8
• -2z⁵ + 4z³ - 9

Grau de um Polinômio:

O grau de um polinômio é o maior expoente da variável que aparece no polinômio, após este ser simplificado (ou seja, após combinar termos semelhantes).

Exemplos:

• 5x³ - 2x² + 7x - 1 (grau 3)
• 3y² + 8 (grau 2)
• -2z⁵ + 4z³ - 9 (grau 5)

Operações com Polinômios:

Adição e Subtração:

Para somar ou subtrair polinômios, basta combinar os termos semelhantes (aqueles que têm a mesma variável elevada ao mesmo expoente).

Exemplo:

(3x² + 5x - 1) + (2x² - 3x + 4) = 5x² + 2x + 3

Multiplicação:

Para multiplicar polinômios, multiplicamos cada termo de um polinômio por todos os termos do outro polinômio e, em seguida, combinamos os termos semelhantes.

Exemplo:

(2x + 3)(x - 1) = 2x² + x - 3

Divisão:

A divisão de polinômios pode ser feita por dois métodos:

1. Divisão longa: similar à divisão longa de números, mas com termos algébricos.
2. Método da chave (ou dispositivo prático de Briot-Ruffini): utilizado quando o divisor é um binômio da forma (x - a).

 Algoritmo da Divisão de Polinômios

A divisão de polinômios é um processo que permite dividir um polinômio (dividendo) por outro polinômio (divisor), resultando em um quociente e, possivelmente, um resto. O algoritmo da divisão de polinômios é semelhante à divisão longa aritmética, mas com algumas adaptações para lidar com termos algébricos.

Passos do Algoritmo:

1. Organizar os polinômios: Escreva o dividendo e o divisor em ordem decrescente de expoentes. Se faltar algum termo no dividendo, complete com coeficiente zero.
2. Dividir o termo líder: Divida o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor. O resultado é o primeiro termo do quociente.
3. Multiplicar e subtrair: Multiplique o termo encontrado no passo anterior pelo divisor e subtraia o resultado do dividendo.
4. Repetir: Repita os passos 2 e 3 com o novo polinômio resultante da subtração, até que o grau do polinômio resultante seja menor que o grau do divisor. Este polinômio final é o resto da divisão.

Exemplos Resolvidos:

Exemplo 1: (x³ - 3x² + 5x - 6) ÷ (x - 2)

        ___________

x - 2 | x³ - 3x² + 5x - 6

        -(x³ - 2x²)

        ___________

               -x² + 5x

               -(-x² + 2x)

               ___________

                      3x - 6

                      -(3x - 6)

                      ___________

                             0

Quociente: x² - x + 3 Resto: 0

Exemplo 2: (2x⁴ + 3x³ - 5x² + x - 7) ÷ (x² + 2x - 1)

             ___________________

x² + 2x - 1 | 2x⁴ + 3x³ - 5x² + x - 7

             -(2x⁴ + 4x³ - 2x²)

             ___________________

                     -x³ - 3x² + x

                     -(-x³ - 2x² + x)

                     ___________________

                            -x² - 7

                            -(-x² - 2x + 1)

                            ___________________

                                   2x - 8

Quociente: 2x² - x - 1 Resto: 2x - 8

Exemplo 3: (3x³ - 2x + 5) ÷ (x + 1)

        ____________

x + 1 | 3x³ + 0x² - 2x + 5

        -(3x³ + 3x²)

        ____________

               -3x² - 2x

               -(-3x² - 3x)

               ____________

                      x + 5

                      -(x + 1)

                      ____________

                         4

Quociente: 3x² - 3x + 1 Resto: 4

Exercícios para praticar:

1. (x⁴ - 5x² + 4) ÷ (x - 1)
2. (2x³ + 7x² - 5x - 4) ÷ (x + 4)
3. (4x⁵ - 3x³ + 2x² - 1) ÷ (2x² + x - 1)
4. (6x⁴ + 5x³ - 10x² + 3x - 8) ÷ (3x - 2)
5. (x⁶ - 1) ÷ (x² - 1)

Gabarito:

1. Quociente: x³ + x² - 4x - 4; Resto: 0
2. Quociente: 2x² - x - 1; Resto: 0
3. Quociente: 2x³ - x² + x; Resto: -1
4. Quociente: 2x³ + 3x² - 2x - 1; Resto: -10
5. Quociente: x⁴ + x² + 1; Resto: 0

Problemas com Resolução:

1. (2x² + 3x - 1) + (x² - 2x + 5) = 3x² + x + 4
2. (5y³ - 2y² + 4) - (y³ + 3y² - 1) = 4y³ - 5y² + 5
3. (3x + 2)(x - 4) = 3x² - 10x - 8
4. (x² + 2x - 3) ÷ (x - 1) = x + 3
5. (2x³ - 5x² + 3x - 1) ÷ (x + 2) = 2x² - 9x + 21 - 43/(x+2) (divisão longa)
6. (x³ - 8) ÷ (x - 2) = x² + 2x + 4 (Briot-Ruffini)
7. (x⁴ - 16) ÷ (x² + 4) = x² - 4
8. (6x³ + 11x² - 31x - 15) ÷ (2x - 3) = 3x² + 10x + 5
9. (4x⁴ - 9x² + 1) ÷ (2x² - 1) = 2x² - 4 + 5/(2x²-1)
10. (x⁵ - 32) ÷ (x - 2) = x⁴ + 2x³ + 4x² + 8x + 16

Problemas para Resolver:

1. (4x² - 7x + 3) + (2x² + 5x - 9)
2. (3y⁴ + 2y³ - 5) - (2y⁴ - y³ + 8)
3. (2x - 5)(3x + 1)
4. (x² + 5x + 6) ÷ (x + 2)
5. (3x³ + 7x² - 2x + 5) ÷ (x - 1)
6. (x³ + 27) ÷ (x + 3)
7. (x⁴ - 81) ÷ (x² - 9)
8. (8x³ - 27) ÷ (2x - 3)
9. (9x⁴ - 16x² + 4) ÷ (3x² - 2)
10. (x⁶ - 64) ÷ (x - 2)

Você tem um arquivo de brinde para baixar ao final da postagem!

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Referência Bibliográfica:

• Iezzi, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar, Volume 6: Complexos, Polinômios e Equações. Atual Editora, 2013.