Introdução

Sistemas de equações lineares com duas variáveis são conjuntos de duas equações lineares com duas incógnitas. Os métodos mais comuns para resolver esses sistemas são o método da substituição, o método da adição (ou eliminação) e o método gráfico. Nesta aula, exploraremos esses métodos e apresentaremos exemplos detalhados, problemas de aplicação e exercícios.

Métodos de Resolução

1. Método da Substituição

Passos:
1. Isolar uma das variáveis em uma das equações.
2. Substituir essa expressão na outra equação.
3. Resolver a equação resultante.
4. Substituir o valor encontrado na equação isolada para encontrar a outra variável.

2. Método da Adição (Eliminação)

Passos:
1. Multiplicar uma ou ambas as equações por constantes para que os coeficientes de uma das variáveis sejam opostos.
2. Somar as equações resultantes para eliminar uma variável.
3. Resolver a equação resultante.
4. Substituir o valor encontrado em uma das equações originais para encontrar a outra variável.

3. Método Gráfico

Passos:
1. Reescrever as equações na forma y = mx + b (equação da reta).
2. Representar graficamente as duas equações no mesmo plano cartesiano.
3. Determinar o ponto de interseção das duas retas, que será a solução do sistema.

Exemplos de Resolução

Exemplo 1: Método da Substituição

Sistema:
x + y = 5
2x - y = 1

Resolução:
1. Isolar y na primeira equação: y = 5 - x
2. Substituir na segunda equação: 2x - (5 - x) = 1
3. Resolver a equação resultante: 3x = 6, x = 2
4. Substituir x = 2 na primeira equação: y = 3
Solução: x = 2 e y = 3

Exemplo 2: Método da Adição

Sistema:
3x - 2y = 4
2x + 2y = 10

Resolução:
1. Somar as equações: 5x = 14, x = 2.8
2. Substituir x = 2.8 na segunda equação: 2(2.8) + 2y = 10
3. Resolver a equação resultante: y = 2.2
Solução: x = 2.8 e y = 2.2

Exemplo 3: Método Gráfico

Sistema:
x + 2y = 8
2x - y = 1

Resolução:
1. Reescrever as equações na forma y = mx + b: y = -0.5x + 4 e y = 2x - 3
2. Representar graficamente e encontrar o ponto de interseção: x = 2 e y = 3
Solução: x = 2 e y = 3

Exemplos de Aplicação

Exemplo 1: Problema de Mistura

Problema: Um comerciante deseja misturar duas soluções de ácido para obter 10 litros de uma solução a 30%. A primeira solução tem 20% de ácido e a segunda tem 40%. Quantos litros de cada solução ele deve misturar?

Sistema:
x + y = 10
0.2x + 0.4y = 3

Resolução:
1. Isolar y na primeira equação: y = 10 - x
2. Substituir na segunda equação: 0.2x + 0.4(10 - x) = 3
3. Resolver a equação resultante: x = 5, y = 5
Solução: 5 litros de cada solução.

Exemplo 2: Problema de Investimento

Problema: Uma pessoa investe R$1000 em dois fundos. O primeiro fundo rende 5% ao ano e o segundo, 8%. Após um ano, o rendimento total foi de R$70. Quanto foi investido em cada fundo?

Sistema:
1. x + y = 1000
2. 0.05x + 0.08y = 70

Resolução:
1. Isolar y na primeira equação: y = 1000 - x
2. Substituir na segunda equação: 0.05x + 0.08(1000 - x) = 70
3. Resolver a equação resultante: x = 333.33, y = 666.67
Solução: R$333,33 no primeiro fundo e R$666,67 no segundo.

Exemplo 3: Problema de Compras

Problema: Uma pessoa compra 3 cadernos e 4 canetas por R$24. Outra pessoa compra 2 cadernos e 3 canetas pelo mesmo preço. Qual o preço de cada item?

Sistema:
3x + 4y = 36
2x + 3y = 25

Resolução:
1. Isolar y na primeira equação: y = 6 - 3/4x
2. Substituir na segunda equação: 2x + 3(6 - 3/4x) = 24
3. Resolver a equação resultante: x = 8, y = 3
Solução: Cada caderno custa R$8 e cada caneta custa R$3.

Exercícios Propostos

1.
2x + 3y = 12
4x - y = 3

2.
5x - 2y = 1
3x + 4y = 14

3.
x - y = 2
2x + 3y = 13

4.
7x + 2y = 5
x - 4y = 9

5.
3x + y = 7
2x - 5y = -1

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Referências Bibliográficas

1. SOUZA, Manuel. Álgebra Linear e Geometria Analítica. Editora ABC, 2020.
2. LIMA, Elon Lages. Introdução à Álgebra Linear. Projeto Euclides, 2017.